Определение функции. Способы задания функции.
Что значить задать функцию? Какими способами можно задать функцию? Что такое определение функции?
Задать функцию — это значит указать правило, при задании любого значения аргумента x вы найдете значение функции y.
Функция y=f(x) – зависимость переменной y от переменной x. Когда задаем значение аргумента x, получаем единственное значение функции y.
Способы задания функции.
В данной статье рассмотрим 3 способа задания функции. На самом деле их больше, в школьной программе чаще всего разбирают эти способы задания функции.
Аналитический способ задания функции.
Чаще всего в школьной программе правило задают в виде формулы y=f(x), x∈X или нескольких формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.
Примеры аналитического задания функции:
Графический способ задания функции.
Также если по формуле построить график функции, то данный способ задания функции будет называться графическим. Не всегда вам будут давать график совместно с формулой. Иногда вам в заданиях будут давать только график функции, по которому вы должны будете найти определенные данные. По графику функции можно восстановить его формулу, но это не всегда легко сделать, все зависит от начерченного графика. В школьной программе вам будут задавать графики, по которым вы сможете рассчитать формулу.
Примеры, графического задания функции:
Табличный способ задания функции.
Табличный способ задания функции.Следующий способ задания функции применяется чаще всего на практике называется табличный.
Все данные представлены в виде таблице. У этого способа имеется конечное множество значений аргумента. Такими таблицами вы уже пользовались в алгебре, например, таблица квадратов, таблица корней и т.д.
Примеры, табличного задания функции:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
Рассмотрим примеры по теме «Способы задания функции»:
Пример №1:
Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?
Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.
Пример №2:
Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?
Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.
Пример №3:
Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?
При проведении вертикальных линий у нас имеется два пересечения. То есть у одной вертикальной линии два пересечения с фигурой. По определению переменной x должно соответствовать только одно значение переменной y, а у нас два пересечения фигуры. Следовательно, данная фигура не является графиком функции.
Числовые функции
Понятие числовой функции.
Пусть дано числовое множество \(X\subset\mathbb
Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, \(f\) и пишут
$$
y=f(x),\;x\in X,\label
$$
а множество \(X\) называют областью определения функции и обозначают \(D(f)\), то есть \(X=D(f)\).
\(x\) часто называют аргументом или независимой переменной, а \(y\) — зависимой переменной. Числа \(x\) из множества \(D(f)\) называют значениями аргумента. Число \(y_0\), соответствующее значению \(x_<0>\in D(f)\), называют значением функции при \(x=x_<0>\) (или значением функции в точке \(x_0\)) и обозначают \(f(x_0)\) или \(f(x)|_
Функцию часто обозначают только символом (\(f,\;\varphi,\;F\) и т. д.), который определяет правило (закон) соответствия. Для обозначения функции используются также записи вида \(x\mapsto f(x),\;f:\;X\rightarrow Y\). Под словом «функция» часто понимают зависимую переменную \(у\), значения которой определяются значениями независимой переменной \(x\) и правилом \(f\), или даже само это правило. Термин «функция» имеет синонимы: отображение, преобразование, морфизм. Например, говорят, что функция \(f\) отображает множество \(X=D(f)\) на множество \(Y=E(f)\), и называют множество \(Y\) образом множества \(X\) при отображении \(f\). Если \(E(f)\subset E_1\), то говорят, что функция \(f\) отображает \(X\) в \(E_1\).
Равенство функций. Операции над функциями.
Функции \(f\) и \(g\) называют равными или совпадающими, если они имеют одну и ту же область определения \(X\) и для каждого \(x\in X\) значения этих функций совпадают. В этом случае пишут \(f(x)=g(x),\ x\in X\) или \(f=g\).
Например, если \(f(x)=\sqrt
Если равенство \(f(x)=g(x)\) верно при всех \(x\in E’\), где \(E’\subset D(f)\cap D(g)\), то есть сужения функций f и g на множество \(E’\) совпадают, то в этом случае говорят, что функции \(f\) и \(g\) равны на множестве \(E’\). Например, функции \(\sqrt
Способы задания функции.
Числовые функции чаще всего задаются при помощи формул. Такой способ задания называют аналитическим. Например, функции \(y=x^2, \ y=|x|^<3/2>, \ y=\sin^3<3x>\) заданы на множестве \(\mathbb
Следует отметить, что функция может быть задана различными формулами на разных промежутках. Например, функция
$$
f(x)=\left\<\begin
$$
задана аналитическим способом на \(\mathbb
Иногда функциональная зависимость описывается с помощью таблицы, содержащей лишь некоторые значения аргумента и соответствующие значения функции. Для значений аргумента, не содержащихся в таблице, значения функции обычно находят приближенно.
На практике часто соответствие между значениями аргумента и значениями функции задается с помощью рисунка. Например, в медицине при изучении работы сердца получают электрокардиограммы — кривые, отражающие изменение с течением времени электрических импульсов в мышце сердца. В практике физических измерений функциональная зависимость часто задается с помощью эскиза графика, снимаемого, например, с экрана осциллографа.
График функции.
Графиком функции \(y=f(x), x\in D(f),\) в прямоугольной системе координат \(Oxy\)-называют множество всех точек плоскости с координатами \((x,f(x)\overline<)>\), где \(x\in D(f)\).
Строго говоря, следует различать график функции, точное определение которого дано выше, и эскиз части графика, принимаемый нередко за график.
Пусть \(x\in[n,n+1\)), где \(n\in Z\), тогда \(E(x)=n\). График функции \(y=E(z)\) изображен на рис. 9.1. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику.
Рис. 9.1
Построить график функции \(y=sign\;\sin x\) где
$$
\operatorname
Рис. 9.2
График функции \(y=f(x)\) иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции \(y=g(x)\).
| Функция \(y=f(x)\) | Преобразование графика функции \(y=g(x)\) |
|---|---|
| \(y=g(x)+A\) | Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат на A |
| \(y=g(x-a)\) | Сдвиг вдоль оси абсцисс на а |
| \(y=g(-x)\) | Симметрия относительно оси ординат |
| \(y=-g(x)\) | Симметрия относительно оси абсцисс |
| \(y=Bg(x)\) | Умножение каждой ординаты на B, где \(b\neq 0\) |
| \(y=g(kx)\) | Деление каждой абсциссы на k, где \(k\neq 0\) |
Приведем примеры применения преобразований, указанных в таблице.
График квадратичной функции
$$
y=ax^<2>+bx+c,\quad a\neq 0,\label
$$
можно получить сдвигом графика функции \(у=ах\) вдоль оси \(Ox\).
\(\triangle\) Действительно, выделяя полный квадрат, получаем
$$
ax^2+bx+c=a(x+\displaystyle \frac<2a>)^<2>+c-\frac
$$
Поэтому графиком квадратичной функции \eqref
Рис. 9.3
График дробно-линейной функции
$$
y=\displaystyle \frac
$$
можно получить преобразованием графика функции вида \(y=\displaystyle \frac
В частности, если \(y=\displaystyle \frac<3-2x>
Рис. 9.4
Построить график функции \(y=\sqrt<-x>\).
\(\triangle\) График функции \(y=\sqrt<-x>\) можно получить из графика функции \(y=\sqrt
Отметим еще, что график функции \(y=|f(x)|\) можно получить из графика функции \(у=f(x)\) следующим образом:
Построить график функции \(y=|x^<2>-2x|.\)
\(\triangle\) Применяя указанный выше прием, строим график этой функции (рис. 9.6) с помощью графика функции \(y=x^<2>-2x\) (рис.9.3). \(\blacktriangle\)
Четные и нечетные функции.
Функция f, определенная на множестве X, называется:
Четными являются, например, следующие функции: \(\displaystyle y=x^<4>,\;y=\cos\frac
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Построить график функции \(y=x^<2>-2|x|.\)
\(\triangle\) Если \(x\geq 0,\) то \(y =x^2-2x\) (см. рис. 9.3). Так как \(x^<2>-2|x|\)— четная функция, то для функции, соответствующей значениям \(x\leq 0\), следует симметрично отразить график \(y=x^<2>-2x, x\geq 0,\) относительно оси \(Oy\) (рис. 9.7). \(\blacktriangle\)
На рис. 9.8 изображен график нечетной функции \(y=x^<3>.\)
Рис. 9.8
Ограниченные и неограниченные функции.
Функцию f называют ограниченной снизу на множестве \(X\subset D(f)\), если существует число \(С_1\) такое, что для любого \(x\in X\) выполняется неравенство \(f(x) \geq C_1\).
Используя символы \(\exists\) и \(\forall\), это определение можно записать так:
$$
\exists C_<1>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\geq C_<1>.\nonumber
$$
Аналогично функцию f называют ограниченной сверху на множестве \(X\subset D(f)\), если
$$
\exists C_<2>:\forall x\in X\rightarrow f(x)\leq C_<2>.\nonumber
$$
Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве X, называют ограниченной на этом множестве.
Функция f является ограниченной на множестве X тогда и только тогда, когда
$$
\exists c>0:\forall x\in X\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$
Если неравенство \(|f(x)|\leq C\) выполняется для всех \(x\in D(f)\), говорят, что функция f ограничена.
Геометрически ограниченность функции f на множестве X означает, что график функции \(y=f(x), x\in X,\) лежит в полосе \(<-C\leq y\leq C>.\)
Например, функция \(y=\displaystyle \sin\frac<1>
$$
|\sin\frac<1>
$$
Функция f не ограничена на множестве X, если условие \eqref
$$
\forall C>0\ \exists x_
$$
Если \(X= D(f)\) и выполнено условие \eqref
Доказать, что функция \(y=\displaystyle \frac<1>
\(\triangle\) Функция \(\displaystyle \frac<1>
Пусть существует точка \(x_<0>\in X\subset D(f)\) такая, что для всех \(x\in X\) выполняется неравенстве \(f(x) \leq f(x_0)\).Тогда говорят, что функция f принимает в точке \(x_<0>\) наибольшее (максимальное) значение на множестве X и пишут \(f(x_<0>)=\displaystyle \max_
Максимальные и минимальные значения называют экстремальными.
Монотонные функции.
Функцию \(f\) называют возрастающей (неубывающей) на множестве \(X\subset D(f)\), если для любых точек \(x_1 \in X, x_<2>\in X\) таких, что \(x_<1>\; f(x_<2>).\nonumber
$$
Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие — названием строго монотонные.
Если \(X=D(f)\), то в этих определениях указание на множество \(X\) обычно опускают.
Доказать, что функция f строго возрастает на множестве X, если:
Числовые функции. Определение и способы задания
Урок 1. Алгебра 10 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Числовые функции. Определение и способы задания»
· повторить определение числовых функций;
· повторить способы задания функций;
· повторить основные преобразования графиков числовых функций;
· повторить вид графиков основных функций.
Если даны числовое множество X и правило f, которое позволяет поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят, что задана функция y=f(x) с областью определения X.
x – независимая переменная или аргумент.
y – зависимая переменная.
Множество всех значений y=f(x), где x принадлежит множеству X называют областью значений функции и обозначают E(f).
Если дана функция y=f(x), где x принадлежит множеству X и на координатной плоскости 
отмечены все точки вида (x, y), где x принадлежит множеству X, а y=f(x), то множество этих точек называют графиком функции y=f(x), где x принадлежит множеству X.
Перед вами графики некоторых функций и их названия.
Зная график функции f(x) с помощью геометрических преобразований можно построить график функции y=f(x+a)+b. Для этого надо сделать параллельный перенос графика функции f(x) на вектор (-a;b), то есть на │a│ вправо, если a 0 на │b│ вверх, если b>0, и вниз, если b Оцените видеоурок
Функция. Способы задания функций.
Функция является заданной, иначе говоря, известной, если для каждого значения возможного числа аргументов можно узнать соответствующее значение функции. Наиболее распространенные три способа задания функции: табличный, графический, аналитический, существуют еще словесный и рекурсивный способы.
1. Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.
Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.
2. Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.
Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х = 2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.
Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.
3. Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.
4. Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.
Словесно можно задать функцию (задачу), принимающуюся в виде натурального аргумента х с соответствующим значением суммы цифр, из которых состоит значение у. Поясняем: если х равно 4, то у равно 4, а если х равно 358, то у равен сумме 3 + 5 + 8, т. е 16. Далее аналогично.
5. Рекурсивный способ состоит в задании функции через саму себя, при этом значения функции определяются через другие ее же значения. Такой способ задания функции используется в задании множеств и рядов.
При разложении числа Эйлера задается функцией:
Ее сокращение приведено ниже:
При прямом расчёте возникает бесконечная рекурсия, но можно доказать, что значение f(n) при возрастании n стремится к единице (поэтому, несмотря на бесконечность ряда, значение числа Эйлера конечно). Для приближённого вычисления значения e достаточно искусственно ограничить глубину рекурсии некоторым наперёд заданным числом и по достижении его использовать вместо f(n) единицу.
Числовая, способы задания, свойства
В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел 
или множества комплексных чисел 
.
Способы задания функции
| Словесный | С помощью естественного языка | Игрек равно целая часть от икс. | ||
| Аналитический | С помощью формулы и стандартных обозначений | f(x) = x! | ||
| Графический | С помощью графика |   Фрагмент графика функции  . | ||
| Табличный | С помощью таблицы значений |
|
[править]Аналитический способ
Обычно функция задаётся с помощью формулы, в которую входят переменные, операции и элементарные функции. Возможно, кусочное задание, то есть различное для различных значений аргумента.
§ 
;
§ 
;
§ 
;
§ 
[править]Табличный способ
Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции. Примерами могут служить программа передач, расписание поездов или таблица значений булевой функции:
 |  |  |
[править]Графический способ
Осциллограмма задаёт значение некоторой функции графически.
Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости. Это может быть приблизительный набросок, как должна выглядеть функция, или показания, снятые с прибора, например, с осциллографа. Этот способ задания может страдать от недостатка точности, однако в некоторых случаях другие способы задания вообще не могут быть применены. Кроме того, такой способ задания один из самых презентативных, удобных для восприятия и качественного эвристического анализа функции.
[править]Рекурсивный способ
Функция может быть задана рекурсивно, то есть через саму себя. В этом случае одни значения функции определяются через другие её значения.
[править]Словесный способ
Функцию можно описать словами на естественном языке каким-либо однозначным способом, например, описав её входные и выходные значения, или алгоритм, с помощью которого функция задаёт соответствия между этими значениями. Наряду с графическим способом, иногда это единственный способ описать функцию, хотя естественные языки и не столь детерминированы, как формальные.
§ функция, возвращающая цифру в записи числа пи по её номеру;
§ функция, возвращающая число атомов во вселенной в определённый момент времени;
§ функция, принимающая в качестве аргумента человека, и возвращающая число людей, которое родится на свет после его рождения.
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции.
5) Четность (нечетность) функции.
6) Ограниченная и неограниченная функции.
7) Периодическость функции.
