Равноускоренное движение: формулы и примеры
Содержание:
Определение
Равноускоренным движением в физике считается такое движение, вектор ускорения которого не меняется по модулю и направлению. Говоря простым языком, равноускоренное движение представляет собой неравномерное движение (то есть идущее с разной скоростью), ускорение которого является постоянным на протяжении определенного промежутка времени. Представим себе автомобиль, который начинает двигаться, первые 2 секунды его скорость равна 10 м/с, следующие 2 секунды он уже движется со скоростью 20 м/с, а еще через 2 секунды уже со скоростью 30 м/с. То есть каждые 2 секунды он ускоряется на 10 м/с, такое движение и есть равноускоренным.
Отсюда можно вывести предельно простое определение равноускоренного движения: это такое движение любого физического тела, при котором его скорость за равные промежутки времени изменяется одинаково.
Примеры
Наглядным примером равноускоренного движения в повседневной жизни может быть велосипед, едущий с горки вниз (но не велосипед, управляемый велосипедистом), или брошенный камень под определенным углом к горизонту.
К слову пример с камнем можно рассмотреть более детально. В любой точке траектории полета на камень действует ускорение свободного падения g. Ускорение g не меняется, то есть остается константой и всегда направлено в одну сторону (по сути, это главное условие равноускоренного движения).
Полет брошенного камня удобно представить в виде сумы движений относительно вертикальной и горизонтальной оси системы координат.
Если вдоль оси Х движение камня будет равномерным и прямолинейным, то вдоль оси Y равноускоренным и прямолинейным.
Формула
Формула скорости при равноускоренном движении будет иметь такой вид:
Где V0 – это начальная скорость тела, а – ускорение (как мы помним, эта величина является константой), t – общее время полета камня.
При равноускоренном движении зависимость V(t) будет иметь вид прямой линии.
Ускорение может быть определено по углу наклона графика скорости. На этом рисунке оно равно отношению сторон треугольника АВС.
Чем больше угол β, тем больше наклон и как следствие, крутизна графика по отношению к оси времени, и тем больше будет ускорение тела.
Рекомендуемая литература по теме
Видео
Автор: Павел Чайка, главный редактор журнала Познавайка
При написании статьи старался сделать ее максимально интересной, полезной и качественной. Буду благодарен за любую обратную связь и конструктивную критику в виде комментариев к статье. Также Ваше пожелание/вопрос/предложение можете написать на мою почту pavelchaika1983@gmail.com или в Фейсбук, с уважением автор.
Похожие посты:
Один комментарий
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении
теория по физике 🧲 кинематика
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают ( а ↑↑ v ). Если векторы имеют противоположное направление ( а ↑↓ v ), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
Когда тело тормозит, через некоторое время t1оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с 2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ ( v ↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены ( v ↑↑ a ), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно ( v ↓↑ a ), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t – «>– 3t 2 (все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид :
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
Перемещение тела определяется формулой:
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v = v 0 + a t = 5 − 6 t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Алгоритм решения
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
Записываем формулу искомой величины:
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1и s2, а затем сложим их:
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Как посчитать путь ускоряющегося тела не используя время
Существует формула, с помощью которой можно посчитать путь, пройденный телом, когда нам известны его начальная скорость, ускорение и конечная скорость.
Сокращенно эту формулу называют «путь без времени». Так ее называют потому, что в правой ее части время t движения отсутствует (рис. 1).
Формула пути без времени помогает упростить решение некоторых задач кинематики. Особенно, задач, части C.
Однако, не торопитесь на ЕГЭ записывать эту формулу в готовом виде. Сначала в решении задачи нужно записать вывод этой формулы. И только потом ее можно использовать.
Формулу выводят из выражений для равнопеременного движения. Сейчас я помогу вам вывести эту формулу с помощью нескольких простых шагов.
Выводим формулу пути без времени
Для определенности будем считать, что тело движется по прямой все быстрее и быстрее. То есть, скорость тела увеличивается, так как появляется ускорение.
В таком случае векторы ускорения и скорости тела будут сонаправленными (параллельными и направленными в одну и ту же сторону).
Сонаправленные или противоположно направленные векторы называют коллинеарными векторами. Прочитайте подробнее о коллинеарных векторах.
Чтобы вычислить путь тела, когда скорость его увеличивается, нужно использовать две формулы:
\( \large v_ <0>\left( \frac<\text<м>>
\( \large v \left( \frac<\text<м>>
\( \large a \left( \frac<\text<м>>
\( \large S \left( \text <м>\right)\) – путь, пройденный телом;
\(\large t \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло этот путь.
В формуле для пути S присутствует время t. Получим из нее формулу для пути, в которой время будет отсутствовать.
Что сделать, чтобы получить формулу пути, в которой отсутствует время:
Выражаем время из формулы для скорости
Выпишем формулу, связывающую начальную и конечную скорость тела:
\[ \large v = v_ <0>+ a \cdot t \]
Избавимся в правой части от начальной скорости, обозначенной символом \( v_<0>\). Для этого из обеих частей уравнения вычтем число \( v_<0>\). Получим такую запись:
\[ \large v — v_ <0>= a \cdot t \]
Теперь, чтобы справа в формуле оставалось только время «t», избавимся от ускорения «a». Для этого разделим обе части уравнения на «a»:
Это выражение нам пригодится для дальнейшего вывода формулы «путь без времени».
В формулу пути подставим выражение для времени
Запишем теперь формулу для пути S и полученную формулу для времени t, объединив их в систему:
В первом уравнении системы будем заменять символ t дробью из второго уравнения. Тогда система из двух уравнений превратится в единственное уравнение. И в этом уравнении не будет символа t времени:
Осталось теперь упростить полученное выражение. Будем производить упрощение по частям.
Упрощаем выражение, расположенное до знака «плюс» в правой части
Выпишем отдельно все, что располагается до знака «плюс» в правой части уравнения:
Умножим числитель дроби на число \(v_<0>\).
В числитель дроби, обособленный с помощью скобок помещаем число \(v_<0>\):
Теперь необходимо умножить скобку на число \(v_<0>\). На рисунке 2 указано, как правильно выражение в скобках умножить на число, стоящее за скобками.
Нужно к каждой скорости в скобках дописать число \(v_<0>\), умножая его на эти скорости. Получим такое выражение:
То есть, вместо первоначальной записи, мы получили такую запись:
Возводим в квадрат дробь
После знака «плюс» в правой части уравнения располагается дробь, которую нужно возвести в квадрат. Обратим внимание на эту дробь:
Правильно возвести дробь в степень поможет рисунок 3.
В результате возведения в квадрат дробь приобретет такой вид:
В числителе этой дроби находится выражение в скобках, которое нужно возвести в квадрат. И нам придется применить одну из формул сокращенного умножения. Запоминать формулы сокращенного умножения удобно в виде, приведенном на рисунке 4.
Используем для этого формулу сокращенного умножения, которая содержит знак «минус». Она называется «Квадрат разности». Тогда числитель дроби превратится в такую запись:
Теперь можем записать полученную дробь:
Упрощаем правую часть, записанную после знака «плюс»
Обратим внимание на все, что располагается в правой части уравнения после знака «плюс»:
Мы уже провели некоторые преобразования и можем теперь заменить дробь, возводимую в квадрат более подробной записью:
Примечание: Когда мы умножаем одну дробь на другую, то можем менять местами знаменатели этих дробей.
Итак, поменяем местами знаменатели дробей:
Теперь видно, что мы можем сократить ускорение и еще немного упростить выражение:
А перемножив числители и знаменатели двух дробей, получим такую запись:
Теперь, первоначальную дробь можно заменить дробью, полученной в ходе преобразований:
Мы закончили преобразовывать выражения, содержащиеся в правой части уравнения после знака «плюс».
Теперь, осталось сложить две дроби в правой части – дробь, записанную до знака «плюс» с дробью, записанной после знака «плюс». А чтобы эти дроби можно было сложить, нужно будет привести их к общему знаменателю.
Приводим к общему знаменателю дроби в правой части уравнения
Вернемся еще раз к первоначальному уравнению:
Заменим правую часть этого уравнения выражениями, которые мы получили:
Сравним знаменатели дробей.
Первая дробь обладает знаменателем «a», а вторая – «2a». Выберем число «2a» в качестве общего знаменателя обеих дробей.
Чтобы первую дробь привести к общему знаменателю «2a», умножим ее на единицу:
Примечания:
Так как снизу в первой дроби не хватает числа 2, то единицу представим в виде дроби 2/2:
Получим такую дробь:
Поместим ее в выражение для пути:
Дроби с одинаковыми знаменателями складываем
Теперь знаменатели дробей равны. И мы можем записать эти дроби под общим знаменателем:
Раскроем скобки в числителе полученного выражения:
Примечание: Обратим внимание на то, что в числителе дважды встречается член \(2v_ <0>v\), обладающий различными знаками. В начале числителя – знаком «плюс», а в конце числителя – знаком «минус». Это означает, что из числа \(2v_<0>v\) вычитается такое же число \(2vv_<0>\). В конце концов, это число покидает нашу запись и, она упрощается:
Перепишем выражение, записав все, что содержит знак «плюс» в начало числителя:
Вычтем подобные члены, содержащие \( v^<2>_<0>\):
В результате получим короткую запись. Именно о ней говорят, когда имеется ввиду формула пути без времени:
Примечания:
Как выглядит формула пути без времени, когда скорость тела уменьшается
Если скорость тела будет уменьшаться, формулу для вычисления пути нужно будет переписать в таком виде:
Получить такую формулу можно, проделав все шаги, описанные выше. Попробуйте самостоятельно ее получить. Выводить формулу нужно, используя формулы для уменьшающейся скорости:
Выводы
Пусть нам известны начальная и конечная скорость тела и его ускорение. Тогда путь, пройденный телом, можно рассчитать так:
