Обратные гиперболические функции, их графики и формулы
Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений
Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.
Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.
Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс, – ∞ 0 :
. Она строго убывает на области определения.
Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.
Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.
Графики обратных гиперболических функций
Формулы с обратными гиперболическими функциями
Связь с тригонометрическими функциями
Четность
Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы
Формулы суммы и разности
Производные обратных гиперболических функций
Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x
arsh x
Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку x = sh t и интегрируем по частям:
.
arch x
Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку x = ch t и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0 :
.
arth x
arcth x
Разложения в ряды
arsh x
При |x| 1 имеет место следующее разложение:
arth x
При |x| 1 имеет место следующее разложение:
arcth x
При |x| > 1 имеет место следующее разложение:
Обратные функции
Гиперболический синус
При – ∞ и – ∞ имеют место формулы:
,
.
Гиперболический косинус
При 1 ≤ y и 0 ≤ x имеют место формулы:
,
.
Гиперболический тангенс
При – 1 1 и – ∞ имеют место формулы:
,
.
Гиперболический котангенс
При – ∞ 1 или 1 и x ≠ 0 имеют место формулы:
,
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Примеры формул тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel
Функция ASIN в Excel предназначена для нахождения угла в радианах, соответствующего указанному значению синуса, и возвращает соответствующее числовое значение. Функция ASINH в Excel предназначена для нахождения значения, соответствующего ареа-синусу некоторого числа, и возвращает полученное числовое значение.
Определение тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel
Синус угла характеризует отношение противолежащего (к острому углу прямоугольного треугольника) катета к гипотенузе этого треугольника и является безразмерной величиной, на основе которой можно определить размер данного угла в радианах или градусах. Функция ASIN возвращает радианы. Для перевода полученного значения в градусы можно умножить полученное значение на 180/ПИ или использовать функцию ГРАДУСЫ.
Для нахождения ареа-синуса некоторого числа x по функции ASINH используется формула:
Пример 1. В таблице указаны синусы некоторых углов, образованных радиусами и центральной точкой окружности. Определить эти углы в градусах, а также соответствующие им длины дуг, если радиус окружности равен 10 м.
Вид таблицы данных:
Для нахождения значений углов в градусах используем следующую формулу:
Для перевода радиан в градусы используем функцию ГРАДУСЫ, округляем полученные числа до целых с помощью функции ОКРУГЛ:
Длина окружности определяется как произведение размера угла в радианах и радиуса окружности. Для определения используем следующую формулу:
В результате вычисления формул мы получили соответственные значения тригонометрических функций в Excel.
Пример графика функций обратному гиперболическому синусу в Excel
Пример 2. Необходимо построить график функции обратного гиперболического синуса для ряда известных значений x, указанных в таблице Excel.
Вид таблицы данных:
Вычислим значения ареа-синусов для указанных значений x с помощью формулы и округлим полученные значения до 2 знаков после запятой:
Построим график на основе имеющихся значений:
По графику видна главная особенность гиперболических функций – они параметрически задают гиперболу.
Свойства тригонометрических функций ASIN и ASINH в Excel
Функция ASIN имеет следующую синтаксическую запись:
Функция ASINH имеет следующий синтаксис:
Аргумент функции может быть указан любым вещественным числом. При вводе данных, не преобразуемых к числовым значениям, функция ASINH будет возвращать код ошибки #ЗНАЧ!
Документация
Символьная обратная функция гиперболического синуса
Синтаксис
Описание
Примеры
Обратная функция гиперболического синуса для числовых и символьных аргументов
В зависимости от его аргументов, asinh возвращает или точные символьные результаты с плавающей точкой.
Вычислите обратную функцию гиперболического синуса для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, asinh возвращает результаты с плавающей точкой.
Вычислите обратную функцию гиперболического синуса для чисел, преобразованных в символьные объекты. Для многих символьных (точных) чисел, asinh отвечает на неразрешенные символьные звонки.
Использование vpa аппроксимировать символьные результаты числами с плавающей запятой:
Постройте обратную функцию гиперболического синуса
Постройте обратную функцию гиперболического синуса на интервале от-10 до 10.
Обработайте выражения, содержащие обратную функцию гиперболического синуса
Найдите первые и вторые производные обратной функции гиперболического синуса:
Найдите неопределенный интеграл обратной функции гиперболического синуса:
Найдите расширение Ряда Тейлора asinh(x) :
Перепишите обратную функцию гиперболического синуса в терминах натурального логарифма:
Входные параметры
X входной параметр
символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица
Введите в виде символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица символьных чисел, переменных, выражений или функций.
Смотрите также
Открытый пример
У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?
Документация Symbolic Math Toolbox
Поддержка
© 1994-2021 The MathWorks, Inc.
1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.
2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.
4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.
5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.
Описание функций языка Си
All | _ | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z
asinh, asinhf, asinhl – расчет гиперболического арксинуса
double asinh (double x);
float asinhf (float x);
long double asinhl (long double x);
x – число, гиперболический арксинус которого требуется рассчитать.
Гиперболический арксинус аргумента x.
Функции рассчитывают значение гиперболического арксинуса.
Гиперболические функции — семейство функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Подобно тригонометрическим функциям синуса и косинуса, являющимися координатами на окружности радиусом единица, гиперболические синус и косинус определяют координаты точки на гиперболе. Гиперболический синус обозначается как sh x, а косинус – ch x.
Гиперболический арксинус – функция обратная гиперболическому синусу, то есть, если Y = asinh (X), то X = sinh (Y)
В примере рассчитывается гиперболический арксинус от 323 с помощью функций asinh, asinhf и asinhl, и результат выводится на консоль. Обратите внимание на точность полученных результатов. У гиперболического арксинуса, рассчитанного с помощью функции asinhf, будет самая маленькая точность, а у рассчитанного с помощью функции asinhl – самая большая.
Аргумент: 323
asinhf : 6.47080183029174804688
asinh : 6.47080190003964894698
asinhl : 6.47080190003964835811
Основные гиперболические функции:
из которых получены:
соответствующие производным тригонометрическим функциям.
СОДЕРЖАНИЕ
Определения
Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.
Экспоненциальные определения
Определения дифференциальных уравнений
Сложные тригонометрические определения
Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:
Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).
Характерные свойства
Гиперболический косинус
Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу:
площадь знак равно ∫ а б шиш Икс d Икс знак равно ∫ а б 1 + ( d d Икс шиш Икс ) 2 d Икс знак равно длина дуги. <\ displaystyle <\ text > = \ int _ ^ \ cosh x \, dx = \ int _ ^ <\ sqrt <1+ \ left (<\ frac 
Гиперболический тангенс
Полезные отношения
Нечетные и четные функции:
Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:
У одного также есть
для других функций.
Суммы аргументов
Формулы вычитания
Формулы половинного аргумента
Квадратные формулы
Неравенства
Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.
Обратные функции как логарифмы
Производные
Вторые производные
Стандартные интегралы
Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :
Выражения ряда Тейлора
Сравнение с круговыми функциями
Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.
Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.
Связь с экспоненциальной функцией
Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества
Гиперболические функции для комплексных чисел
Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:
