Учебник. Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью, на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью. Тогда любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью.

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Комплексные числа на плоскости

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Указанная в определении формула легко выводится при помощи теоремы Пифагора (см. рис.).

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z → ; величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Заданием только лишь своего модуля определяется только комплексное число z = 0.

Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –1 – i.

Источник

Arg что это в математике

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Источник

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 5

Комплексные числа

Мнимая единица

На специальной панели символов системы Mathematica имеется мнимая единица, но иногда ее удобно ввести просто как букву I или даже как \[Imaginaryi] или \[ImaginaryJ]. Вот примеры.

Вещественная часть комплексного числа: функция Re

Это совсем незамысловатая функция, возвращающая вещественную часть комплексного числа.

Заметьте, что в последнем примере вещественность а и b не предполагается.

Мнимая часть комплексного числа: функция Im

Тоже совсем незамысловатая функция, возвращающая мнимую часть комплексного числа.

Заметьте, что в случае Im[a+b I] вещественность а и b не предполагается – в отличие от случая, когда используется функция ComplexExpand.

Аргумент комплексного числа: функция Arg

Функция Arg[z] возвращает аргумент комплексного числа z.

Вот как, например, можно получить аргументы корней четвертой степени из 1.

Возвращаемый угол всегда по абсолютной величине не превосходит n.

Сопряженное комплексное число: функция Conjugate

Выражение Conjugate [z] представляет собой сопряженное комплексное число z. Вот как, например, можно получить число, сопряженное к х+I у.

Заметьте, что х и у предполагаются комплексными.

Резюме

Мы рассмотрели основные числовые системы, предусмотренные в системе Mathematica. Они полностью охватывают классическую математику. Благодаря такому богатству система Mathematica может помочь в решении практически любых математических задач. Но благодаря этому же богатству при решении задач можно столкнуться с теми же проблемами, что и в математике. И потому решение исследовательских задач с помощью системы Mathematica может потребовать основательного знакомства с методологией применения данной системы в конкретной области науки и техники. Конечно, по высказыванию Гаусса, математика – царица всех наук. И потому в первую очередь следует освоить именно методологию применения системы Mathematica к решению математических задач. И начнем мы с царицы математики (по выражению того же Гаусса) – с арифметики.

Источник

В математика (особенно в комплексный анализ), аргумент многозначный функция оперирует ненулевым сложные числа. С комплексными числами z визуализируется как точка в комплексная плоскость, аргумент z это угол между положительным настоящий ось и линия, соединяющая точку с началом координат, показанная как φ на рисунке 1 и обозначен как arg z. [1] Чтобы определить однозначную функцию, основная стоимость аргумента (иногда обозначается как Arg z) используется. Часто выбирается уникальное значение аргумента, лежащее в интервале (–π, π]. [2] [3]

Содержание

Определение

Имена величина, для модуля и фаза, [4] [2] в качестве аргумента иногда используются эквивалентно.

Главное значение

Обозначение

Множество всех возможных значений аргумента можно записать в терминах Arg так как:

Вычисление из реальной и мнимой части

Если комплексное число известно в терминах его действительной и мнимой частей, то функция, вычисляющая главное значение Arg называется функция арктангенса с двумя аргументами atan2:

Компактное выражение с 4 перекрывающимися полуплоскостями:

В качестве альтернативы, главное значение можно рассчитать единообразно, используя формула касательного полуугла, функция определяется на комплексной плоскости, но исключает начало координат:

Вариант последней формулы, позволяющий избежать переполнения, иногда используется в вычислениях с высокой точностью:

Идентичности

Это действительно только если z не равно нулю, но может считаться действительным для z = 0 если Арг (0) рассматривается как неопределенная форма- а не как неопределенный.

Далее следуют некоторые дальнейшие идентичности. Если z₁ и z₂ два ненулевых комплексных числа, то

Если z ≠ 0 и п любое целое число, то [2]

пример

Использование комплексного логарифма

Источник

Функция ARG

Указывает аргумент о том, что вызываемая ячейка может передаваться на настраиваемую функцию, а также значение по умолчанию, возвращаемого настраиваемой функцией, если вызываемая ячейка не передает значение аргумента. Возвращает значение, указанное ячейкой вызова и параметром argName.

Синтаксис

ARG(argName _,[ _ defaultValue ])

Параметры

Комментарии

Как разработчик формы можно создать настраиваемые функции, разместив выражение в одной ячейке и назвав это выражение из одной или более других ячеек. Выражение может включать буквальные строки, функции ShapeSheet и ссылки на ячейки. Выражение также может включать определенные аргументы, которые передаются в вызываемой ячейке.

Ячейка вызова указывает ячейку, которая содержит настраиваемую функцию, а также любые аргументы, которые она хочет передать функции. Ячейка выражения оценивается, а результат возвращается в вызываемую ячейку.

Пример

В следующем примере показано, как использовать функцию ARG совместно с функцией EVALCELL для поиска среднего значения из набора из трех значений.

В ячейке выражения поместите следующий код, определяемый настраиваемой функцией:

В ячейках вызова поместите следующий код, который вызывает настраиваемую функцию:

Источник